Developing.ru

Есть треугольник, координаты вершин, длины сторон, площадь треугольника.
Надо найти центр описанной окружности.
Формулы не нашел чтобы найти, может кто уже подобное делал.
Надо самую формулу. Надо найти координаты О (х; y) центра.

На эту тему много статей. Основная идея - найти радиус и через систему уравнений, составленных из формул окружности, - центрами которых являются вершины треугольника, - найти искомые х и у.

1. Описанная окружность проходит через все вершины треугольника.
2. Все точки окружности удалены от центра на радиус.
Отсюда система уравнений:
(x-x_a)^2+(y-y_a)^2=r^2
(x-x_b)^2+(y-y_b)^2=r^2
(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2
, где x, y - координаты центра окружности, x_a, y_a - координаты одной вершины треугольника, x_b, y_b - координаты другой вершины треугольника, x_c, y_c - координаты третьей вершины треугольника, r - радиус окружности, символ ^ означает возведение в степень. Если сможешь решить систему в общем виде, то получишь формулы для координат центра окружности и её радиуса.

Описанная окружность проходит через все вершины треугольника, значит любая сторона - хорда, если радиус пересекает хорду в её середине, то это происходит под прямым углом, другой радиус имеет концом вершину. Этот второй радиус, отрезок первого радиуса от центра до точки пересечения со стороной и половина стороны образуют прямоугольный треугольник. Радиус, заканчивающийся в вершине треугольника - гипотенуза, остальные стороны - катеты. Если знать радиус, то расстояние от середины стороны до центра окружности можно найти по теореме Пифагора. Кладём на сторону вектор, делим его на длину, получим орт, поворачиваем орт на 90 градусов, меняя координаты местами и меняя знак одной координаты, потом умножаем на расстояние от середины стороны до центра, получаем нормаль. Таких нормалей для каждой стороны должно получиться две по одной для каждого направления поворота (для смены знака у x, и у y), всего шесть, три из них по одной для каждой стороны заканчиваются в одной точке - в центре окружности.

Можно не искать радиус, а сразу найти уравнения прямых, пересекающих все три стороны в их серединах под прямым углом, а из них составить систему уравнений первой степени, решение в общем виде даст формулы координат центра.

Сторона соединяет две точки, пусть это будут A(x_a, y_a) и B(x_b, y_b). Проще всего будет получть её параметрическое уравнение для параметра t_ab, задающего координату на прямой, на которой лежит сторона, с началом в одной вершине, положительным направлением к другой вершине и в единицах длины стороны. Например:
x=x_a+(x_b-x_a)*t_ab
y=y_a+(y_b-y_a)*t_ab
Тогда уравнение перпендикуляра:
x=(x_a+x_b)/2+(y_b-y_a)*t_ab
y=(y_a+y_b)/2-(x_b-x_a)*t_ab
Аналогично для перпендикуляра к стороне ac:
x=(x_a+x_с)/2+(y_с-y_a)*t_aс
y=(y_a+y_с)/2-(x_с-x_a)*t_aс
И для перпендикуляра к стороне bc:
x=(x_b+x_с)/2+(y_с-y_b)*t_bс
y=(y_b+y_с)/2-(x_с-x_b)*t_bс
Так как мы ищем одну точку, то x=x=x и y=y=y, то есть:
(x_a+x_b)/2+(y_b-y_a)*t_ab=(x_a+x_с)/2+(y_с-y_a)*t_aс=(x_b+x_с)/2+(y_с-y_b)*t_bс
(y_a+y_b)/2-(x_b-x_a)*t_ab=(y_a+y_с)/2-(x_с-x_a)*t_aс=(y_b+y_с)/2-(x_с-x_b)*t_bс
Из каждого транзитивного уравнения можно получить 3 обычных:
(x_a+x_b)/2+(y_b-y_a)*t_ab=(x_a+x_с)/2+(y_с-y_a)*t_aс
(x_a+x_b)/2+(y_b-y_a)*t_ab=(x_b+x_с)/2+(y_с-y_b)*t_bс
(x_a+x_с)/2+(y_с-y_a)*t_aс=(x_b+x_с)/2+(y_с-y_b)*t_bс
(y_a+y_b)/2-(x_b-x_a)*t_ab=(y_a+y_с)/2-(x_с-x_a)*t_aс
(y_a+y_b)/2-(x_b-x_a)*t_ab=(y_b+y_с)/2-(x_с-x_b)*t_bс
(y_a+y_с)/2-(x_с-x_a)*t_aс=(y_b+y_с)/2-(x_с-x_b)*t_bс
Здесь 6 уравнений, но только 3 неизвестных: t_ab, t_ac и t_bc, то есть система переопределена. Но зато, в отличие от первого варианта, это система не квадратных, а линейных уравнений. Решив её в общем виде, получишь форумулы для параметров, подставив любую из них в уравненение перпендикуляра, получишь форумлы для координат центра.

Система переопрделена потому, что достаточно рассматривать 2 стороны, а не все три. Пересечение двух серединных перпендикуляров уже гарантированно даёт центр описанной окружности, а так же гарантирует, что третий серединный перпендикуляр, пересечётся с двумя первыми именно в этой точке.

А что решить систему поленился или оставил на домашнее задание топикстрартеру?